알지오매쓰(AlgeoMath)_닮음-시어핀스키(시에르핀스키) 삼각형 넓이

 넓이의 비를 구하는 것을 추가하였다. 삼각형을 지우는 단계가 하나씩 늘어날때마다 넓이는 3/4가 된다는 것을 이용했다. 이는 삼각형의 합동 또는 닮음으로 알아볼 수 있다. 이번에는 닮음이 더 중요하기 때문에 닮음으로 알아볼 것이다. 

다음 그림에서 노란색으로 색칠된 부분의 넓이는 전체 삼각형의 넓이에서 하얀 삼각형의 넓이를 빼면 된다. 이때 각 변의 중점을 연결하여 만든 삼각형이므로 전체 삼각형과 하얀 삼각형은 SSS닮음이다. 이 때 닮음비는 1 : 2이므로 넓이의 비는 1 : 4이다. 따라서

 

(노란 부분의 넓이) = (전체 삼각형의 넓이) - (하얀 부분의 넓이)

= (전체 삼각형의 넓이) - (전체 삼각형의 넓이의 1/4)

= (전체 삼각형의 넓이의 3/4)

가 되는 것이다. 계속해서 쪼갠다면 계속해서 3/4를 곱해주면 되므로 시어핀스키 삼각형의 넓이를 구할 수 있다. 

(*참고 : 시어핀스키 삼각형을 만드는 과정을 계속해서 반복하면 0에 무한히 가까워진다. 직접 단계를 늘려가며 넓이를 구해보면 점점 0에 가까워진다는 것을 알 수 있다. )

code

result

Sierpinski triangle_size